Wenn du dich in der Welt der Mathematik bewegst, bist du sicherlich schon auf den Begriff "Vektor" gestoßen. Vektoren sind ein wichtiger Bestandteil der Geometrie und der linearen Algebra und haben viele praktische Anwendungen in der Physik, in der Computergrafik und vielen anderen Bereichen. Eine der grundlegendsten Eigenschaften eines Vektors ist seine Länge, die auch als Betrag oder Norm bezeichnet wird. In diesem Artikel werden wir uns anschauen, wie man die Länge eines Vektors berechnet.
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor ist eine mathematische Entität, die durch eine bestimmte Anzahl von Komponenten definiert wird. Diese Komponenten können zum Beispiel die Koordinaten eines Punktes im Raum oder die Geschwindigkeit und Richtung eines Objekts sein. Ein Vektor wird üblicherweise durch ein Tupel von Zahlen dargestellt, zum Beispiel (3,4) oder (1,2,3). Die Anzahl der Komponenten eines Vektors wird als seine Dimension bezeichnet.
Die Länge eines Vektors in 2D
Wenn wir einen Vektor in der Ebene haben, also einen zweidimensionalen Vektor, können wir seine Länge mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Angenommen, unser Vektor hat die Komponenten (x,y). Dann gilt:
- Berechne die Summe der Quadrate der Komponenten: x^2 + y^2
- Ziehe die Wurzel aus dieser Summe: sqrt(x^2 + y^2)
Das Ergebnis ist die Länge des Vektors.
Die Länge eines Vektors in 3D
Bei einem dreidimensionalen Vektor müssen wir etwas anders vorgehen. Hier können wir nicht mehr einfach den Satz des Pythagoras verwenden, da wir drei Komponenten haben. Stattdessen müssen wir die Wurzel aus der Summe der Quadrate aller Komponenten ziehen:
- Berechne die Summe der Quadrate aller Komponenten: x^2 + y^2 + z^2
- Ziehe die Wurzel aus dieser Summe: sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
Das Ergebnis ist die Länge des Vektors.
Die Länge eines Vektors in n Dimensionen
Die Formel für die Länge eines Vektors lässt sich auf beliebig viele Dimensionen erweitern. Für einen n-dimensionalen Vektor mit den Komponenten (x1,x2,...,xn) gilt:
Länge = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)
Beispiel
Um das Ganze etwas anschaulicher zu machen, hier ein kleines Beispiel. Wir haben den Vektor (3,4) in der Ebene. Seine Länge berechnet sich wie folgt:
- x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
- sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(25) = 5
Die Länge des Vektors beträgt also 5.
Fazit
Die Länge eines Vektors ist eine wichtige Eigenschaft, die in vielen mathematischen und technischen Anwendungen eine Rolle spielt. Mit den oben genannten Formeln kannst du die Länge eines Vektors in beliebig vielen Dimensionen berechnen. Probiere es doch einfach mal aus!
Referenz
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (2009). Thomas' Calculus (12th ed.). Boston, MA: Addison-Wesley.
